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对于任意一个高次方程 f(x)=a0xn+a1xn−1+a2xn−2+...f(x)=a_0x^n+a_{1}x^{n-1}+ a_{2}x^{n-2}+...f(x)=a0​xn+a1​xn−1+a2​xn−2+...，我们都可以把它表示为 f(x)=a(x−x1)(x−x2)(x−x3)...(x−xn)f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)...(x-x_n)f(x)=a(x−x1​)(x−x2​)(x−x3​)...(x−xn​)，其中 x1,x2,x3...xnx_1,x_2,x_3...x_nx1​,x2​,x3​...xn​ 是 f(x)f(x)f(x) 的全部 nnn 个根。 通过展开并且与原方程比较的方法，得出韦达定理。 以三次方程举例：对于有三个根 x1，x2，x3x_{1}，x_{2}，x_{3}x1​，x2​，x3​ 的一元三次方程 ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\left( a\ne0 \right)ax3+bx2+cx+d=0(a=0)，我们可以得到 a(x−x1)(x−x2)(x−x3)=0 ...

解析式 r=asin(nθ)r=asin(n\theta)r=asin(nθ) 参数特性 参数 aaa 控制叶子的长短 参数 nnn 控制叶子的个数、叶子的大小及周期的长短 nnn 为整数 nnn 为奇数 玫瑰线的叶子数为 nnn，闭合周期为 π\piπ，即 θθθ 角取值在 0−π0-π0−π 内玫瑰线才是闭合和完整的 n=1n=1n=1 n=3n=3n=3 n=5n=5n=5 nnn 为偶数 玫瑰线的叶子数为 2n2n2n，闭合周期为 2π2π2π，即 θθθ 角取值在 0−2π0-2π0−2π 内玫瑰线才是闭合和完整的 n=2n=2n=2 n=4n=4n=4

形成过程 参数方程 {x=a(t−sint)y=a(1−cost)(2kπ<t<2(k+1)π),k=0,±1,±2,… ) \begin{cases} x=a(t-sint)\\ y=a(1-cost)\\ \end{cases} (2k\pi<t<2(k+1)\pi),k=0,\pm1,\pm2,\dots) {x=a(t−sint)y=a(1−cost)​(2kπ<t<2(k+1)π),k=0,±1,±2,…) 分析 导数 dydx=cott2 \dfrac{dy}{dx}=cot\dfrac{t}{2} dxdy​=cot2t​ d2ydx2=−csc2t22a(1−cost) \dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{-csc^2\dfrac{t}{2}}{2a(1-cost)} dx2d2y​=2a(1−cost)−csc22t​​ 摆线图像 a>0a>0a>0 d2ydx2<0\dfrac{d^2y}{dx^2}<0dx2d2y​<0 ...

xab+yab=1x^\dfrac{a}{b}+y^\dfrac{a}{b}=1xba​+yba​=1（ab>0\dfrac{a}{b}>0ba​>0 且为最简分数） aaa 为偶数（导致曲线封闭），则 bbb 必为奇数 此时曲线为星形线 曲线从内至外的解析式： 绿：x23+y23=123x^\dfrac{2}{3}+y^\dfrac{2}{3}=1^\dfrac{2}{3}x32​+y32​=132​ 参数方程：{x=1∗cos3ty=1∗sin3t\begin{cases} x=1*cos^3t\\ y=1*sin^3t\\ \end{cases} {x=1∗cos3ty=1∗sin3t​ 灰：x45+y45=1x^\dfrac{4}{5}+y^\dfrac{4}{5}=1x54​+y54​=1 紫：x43+y43=1x^\dfrac{4}{3}+y^\dfrac{4}{3}=1x34​+y34​=1 蓝：x2+y2=1x^2+y^2=1x2+y2=1 红：x4+y4=1x^4+y^4=1x4+y4=1 aaa 为奇数（导致曲线不封闭），bbb 为 ...

不等式 x1+x≤ln⁡(1+x)≤x\dfrac{x}{1+x}\leq \ln(1+x)\leq x1+xx​≤ln(1+x)≤x 定义域：x∈(−1,+∞)x\in(-1, +\infty)x∈(−1,+∞) 只有当 x=0x=0x=0 时，等号成立 推论 1−1x≤ln⁡x≤x−11-\dfrac{1}{x}\leq \ln x\leq x-11−x1​≤lnx≤x−1 不等式图像 曲线从下至上的解析式 红：y=x1+xy=\dfrac{x}{1+x}y=1+xx​ 绿：y=ln⁡(1+x)y=\ln(1+x)y=ln(1+x) 蓝：y=xy=xy=x

y=ln⁡xxay=\dfrac{\ln x}{x^a}y=xalnx​ 图像 曲线从上至下的解析式 绿：y=ln⁡xxy=\dfrac{\ln x}{x}y=xlnx​ 蓝：y=ln⁡xx2y=\dfrac{\ln x}{x^2}y=x2lnx​ 红：y=ln⁡xx3y=\dfrac{\ln x}{x^3}y=x3lnx​ 橙：y=ln⁡xx4y=\dfrac{\ln x}{x^4}y=x4lnx​ 紫：y=ln⁡xx5y=\dfrac{\ln x}{x^5}y=x5lnx​ 极值点 x=e1/ax=e^{1/a}x=e1/a 极限 lim⁡x→+∞ln⁡xxa=0\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^a}=0limx→+∞​xalnx​=0

1、 ∣x∣x2=∣x∣∣x∣2=1∣x∣\dfrac{|x|}{x^2} = \dfrac{|x|}{|x|^2} = \dfrac{1}{|x|}x2∣x∣​=∣x∣2∣x∣​=∣x∣1​ ∣x∣a=∣xa∣|x|^a=|x^a|∣x∣a=∣xa∣ xxx 的符号：x∣x∣\dfrac{x}{|x|}∣x∣x​ 或 ∣x∣x\dfrac{|x|}{x}x∣x∣​ (1∣x∣)′=−∣x∣x3=−∣x∣x∣x∣2=−1x∣x∣(\dfrac{1}{|x|})'=-\dfrac{|x|}{x^3}=-\dfrac{|x|}{x|x|^2}=-\dfrac{1}{x|x|}(∣x∣1​)′=−x3∣x∣​=−x∣x∣2∣x∣​=−x∣x∣1​ 2、 一阶可导：函数可以求一阶导数，但求出的导数可能连续也可能不连续 一阶连续导数：函数可以求一阶导数，且导数连续 连续递增：函数连续并且递增 3、f(x)∈D2(a,b)f(x)\in D^2(a, b)f(x)∈D2(a,b)​ 表示 f(x)f(x)f(x)​ 在 (a,b)(a, b)(a,b)​ 二阶可导 4、无穷大 ±\pm± ...

一、y=xaln⁡x（a>0）y=x^a\ln x（a>0）y=xalnx（a>0） 图像 曲线从下至上的解析式 红：y=xln⁡xy=x\ln xy=xlnx 黑：y=x2ln⁡xy=x^2\ln xy=x2lnx 蓝：y=x3ln⁡xy=x^3\ln xy=x3lnx 绿：y=x4ln⁡xy=x^4\ln xy=x4lnx 橙：y=x5ln⁡xy=x^5\ln xy=x5lnx 极值点 x=e−1/ax=e^{-1/a}x=e−1/a 极限 lim⁡x→0+xaln⁡x=0（a>0）\lim_{x\to0^+}x^a\ln x=0（a>0）limx→0+​xalnx=0（a>0） 二、y=x(ln⁡x)b（b>0）y=x(\ln x)^b（b>0）y=x(lnx)b（b>0） 图像 bbb 为偶数 bbb 为奇数 参数特性 随着 bbb 不断递增，函数的极值点不断减小，极值不断增大 极限 lim⁡x→0+x(ln⁡x)b=0\lim_{x\to0^+}x(\ln x)^b=0limx→0+​x(lnx)b=0 三、 ...

输入 \小写希腊字母英文全称 和 \首字母大写希腊字母英文全称 来分别输入小写和大写希腊字母。 对于大写希腊字母与现有字母相同的，直接输入大写字母即可。 输入 显示 输入 显示 输入 显示 输入 显示 \alpha α\alphaα A AAA \beta β\betaβ B BBB \gamma γ\gammaγ \Gamma Γ\GammaΓ \delta δ\deltaδ \Delta Δ\DeltaΔ \epsilon ϵ\epsilonϵ E EEE \zeta ζ\zetaζ Z ZZZ \eta η\etaη H HHH \theta θ\thetaθ \Theta Θ\ThetaΘ \iota ι\iotaι I III \kappa κ\kappaκ K KKK \lambda λ\lambdaλ \Lambda Λ\LambdaΛ \mu μ\muμ M MMM \nu ν\nuν N NNN \xi ξ\xiξ \Xi Ξ\XiΞ o ooo O OOO \pi π\piπ \Pi Π\PiΠ \rho ρ\rhoρ ...

1234567891011#include "stdio.h"int main(){ int a = 1234; float b = 123.456; double c = 12345.54321; printf("%2d,%2.1f,%2.11f", a, b, c);}输出：1234,123.5,12345.54321000000 %md：m为指定输出数据的宽度 如果位数小于 m，则左端补以空格，如果大于 m，则按实际位数输出 显然 1234 的位数是 4，大于 %2d 中指定的长度 2，按实际位数输出，所以结果为 1234 %m.nf：指定输出数据宽度为 m 位，其中小数占 n 位，如果数值长度小于 m，则左端补空格，大于的话就按原长度输出；%-m.nf 如果数值长度小于 m，则右端补空格，大于的话就按原长度输出 %2.1f 就是指长度 2 位，含 1 位小数位，由于 123.456 原长度大于 2，所以原样输出，但只能保留 1 位小数，所以结果是 123.4 %2.11f，就是含 11 位小数，12345.54321 ...