对于任意一个高次方程 f(x)=a0xn+a1xn−1+a2xn−2+...f(x)=a_0x^n+a_{1}x^{n-1}+ a_{2}x^{n-2}+...，我们都可以把它表示为 f(x)=a(x−x1)(x−x2)(x−x3)...(x−xn)f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)...(x-x_n)，其中 x1,x2,x3...xnx_1,x_2,x_3...x_n 是 f(x)f(x) 的全部 nn 个根。

通过展开并且与原方程比较的方法，得出韦达定理。

以三次方程举例：对于有三个根 x1，x2，x3x_{1}，x_{2}，x_{3} 的一元三次方程 ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\left( a\ne0 \right)，我们可以得到 a(x−x1)(x−x2)(x−x3)=0a\left( x-x_{1} \right)\left( x-x_{2} \right)\left( x-x_{3} \right) =0，展开得 ax3−a(x1+x2+x3)x2+a(x1x2+x1x3+x2x3)x−ax1x2x3=0ax^{3}-a\left( x_{1}+x_{2}+x_{3} \right)x^{2}+a\left( x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3} \right)x-ax_{1}x_{2}x_{3}=0

与原方程比较对应系数即可得到一元三次方程的韦达定理：

x1+x2+x3=−bax_{1}+x_{2}+x_{3}=-\dfrac{b}{a}

x1x2+x1x3+x2x3=cax_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=\dfrac{c}{a}

x1x2x3=−dax_{1}x_{2}x_{3}=-\dfrac{d}{a}

有了二次方程和三次方程的韦达定理，我们就可以用一样的思路得到一元 nn 次方程的韦达定理的推广通式：

∑xi=(−1)1a1a0\sum_{}^{}{x_{i}}=\left( -1\right)^{1}\dfrac{a_{1}}{a_{0}}

∑xixj=(−1)2a2a0\sum_{}^{}{x_{i}x_{j}}=\left( -1\right)^{2}\dfrac{a_{2}}{a_{0}}

∑xixjxk=(−1)3a3a0\sum_{}^{}{x_{i}x_{j}x_{k}}=\left( -1\right)^{3}\dfrac{a_{3}}{a_{0}}

…

∏xi=(−1)nana0\prod_{}^{}x_{i}=\left( -1 \right)^n\dfrac{a_n}{a_0}

其中我们常用的是第一个和最后一个。