xab+yab=1x^\dfrac{a}{b}+y^\dfrac{a}{b}=1ab>0\dfrac{a}{b}>0 且为最简分数)

  • aa 为偶数(导致曲线封闭),则 bb 必为奇数
    此时曲线为星形线
    曲线从内至外的解析式:

    • 绿:x23+y23=123x^\dfrac{2}{3}+y^\dfrac{2}{3}=1^\dfrac{2}{3}
      参数方程:

      {x=1cos3ty=1sin3t\begin{cases} x=1*cos^3t\\ y=1*sin^3t\\ \end{cases}

    • 灰:x45+y45=1x^\dfrac{4}{5}+y^\dfrac{4}{5}=1
    • 紫:x43+y43=1x^\dfrac{4}{3}+y^\dfrac{4}{3}=1
    • 蓝:x2+y2=1x^2+y^2=1
    • 红:x4+y4=1x^4+y^4=1
      星形线
  • aa 为奇数(导致曲线不封闭),bb 为奇数
    曲线依次的解析式:

    • 红:x3+y3=1x^3+y^3=1
    • 紫:x53+y53=1x^\dfrac{5}{3}+y^\dfrac{5}{3}=1
    • 绿:x+y=1x+y=1
    • 蓝:x13+y13=1x^\dfrac{1}{3}+y^\dfrac{1}{3}=1
      上奇数下奇数
  • aa 为奇数(导致曲线不封闭),bb 为偶数(导致 x0x\geq0,图像只在第一象限)
    曲线从下至上的解析式:

    • 蓝:x12+y12=1x^\dfrac{1}{2}+y^\dfrac{1}{2}=1
    • 红:x34+y34=1x^\dfrac{3}{4}+y^\dfrac{3}{4}=1
    • 绿:x32+y32=1x^\dfrac{3}{2}+y^\dfrac{3}{2}=1
    • 紫:x52+y52=1x^\dfrac{5}{2}+y^\dfrac{5}{2}=1
      上奇数下偶数
  • ab\dfrac{a}{b} 规律
    ab\dfrac{a}{b} 越大,曲线越凸起
    ab\dfrac{a}{b} 越小,曲线越凹陷