费曼积分法
简介
理查德·菲利普斯·费曼（Richard Phillips Feynman）是美国著名物理学家，在多个领域都有卓越贡献。
费曼积分的思路就是
设置变量
求导化简
解平凡积分
费曼自己对它的形容是：“对积分符号内的参数求微分”。
求导之后会使得一些超越函数变为幂函数，或者一些特别函数求导后可以转变成熟悉的函数。
幂对积分
计算
an=∫01xmlnnx dx\large a_n = \int_0^1 x^m\ln^n x \ \mathrm{d}x
an=∫01xmlnnx dx
设I(m)=∫01xm dx=1m+1I(m) = \displaystyle{\int _0^1 x^m \ \mathrm{d}x}=\frac{1}{m+1}I(m)=∫01xm dx=m+11, 于是
I′(m)=ddm∫01xm dx=∫01∂∂m(xm) dx=∫01xmlnx dx=−1(m+1)2\large \begin{aligned}
I'(m)
&=\frac{\rm d}{\mathrm{d}m}\int_0^1x^m \ {\rm d}x\\
& ...
幂函数图像赏析
f(x)=xabf(x)=x^\dfrac{a}{b}f(x)=xba（ab\dfrac{a}{b}ba 且为最简分数）
下述讨论针对ab>0\dfrac{a}{b}>0ba>0，ab<0\dfrac{a}{b}<0ba<0类似。
aaa 为偶数（导致f(x)f(x)f(x)为偶函数），则 bbb 必为奇数
曲线的解析式：
黑：y=x4y=x^4y=x4
红：y=x2y=x^2y=x2
蓝：y=x23y=x^\dfrac{2}{3}y=x32
绿：y=x25y=x^\dfrac{2}{5}y=x52
aaa 为奇数，bbb 为奇数，则f(x)f(x)f(x)为奇函数
曲线的解析式：
绿：y=x3y=x^3y=x3
蓝：y=xy=xy=x
红：y=x13y=x^\dfrac{1}{3}y=x31
紫：y=x15y=x^\dfrac{1}{5}y=x51
aaa 为奇数，bbb 为偶数（导致 x≥0x\geq0x≥0，图像只在第一象限）
曲线的解析式：
红：y=x52y=x^\dfrac{5}{2}y=x25
...
双曲函数图像赏析
双曲正弦函数及其反函数
y=sinhxy=\sinh xy=sinhx 和 y=arsinhxy=\operatorname{arsinh} xy=arsinhx 图像
曲线特性
sinhx=ex−e−x2\sinh x=\cfrac{e^x-e^{-x}}{2}sinhx=2ex−e−x
arsinhx=ln(x+x2+1)\operatorname{arsinh} x=\ln(x+\sqrt{x^2+1})arsinhx=ln(x+x2+1)
两曲线在 (0,0)(0, 0)(0,0) 处相切，切线为 y=xy=xy=x
双曲余弦函数及其反函数
悬链线 y=coshxy=\cosh xy=coshx 和 y=arcoshxy=\operatorname{arcosh} xy=arcoshx 图像
曲线特性
coshx=ex+e−x2=∑n=0∞x2n(2n)!\begin{align*}
\cosh x & = \cfrac{e^x+e^{-x}}{2} \\
& = \sum_{n=0}^{\infty} \cfrac{ ...
指数生成函数积分法
计算
In=∫01xmlnnxdx\large I_n=\int_0^1{x^m\ln ^nx}dx
In=∫01xmlnnxdx
设 InI_nIn 的指数生成函数为 G(t)G(t)G(t), 则
G(t)=∑n=0∞Inn!tn{\large G\left( t \right) =\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{I_n}{n!}}t^n }\\
G(t)=n=0∑∞n!Intn
计算过程如下
G(t)=∑n=0∞Inn!tn=∑n=0∞∫01xmlnnxdxn!tn=∫01xm∑n=0∞lnnxn!tndx=∫01xm∑n=0∞(tlnx)nn!dx=∫01xmetlnxdx=∫01xmxtdx=∫01xm+tdx=1m+t+1=1m+111+tm+1=1m+1∑n=0∞(−1)n⋅n!n!(tm+1)n=∑n=0∞(−1)n⋅n!n!1(m+1)n+1⋅tn=∑n=0∞1n!⋅(−1)n⋅n!(m+1)n+1⋅tn\large \begin{aligned}
G\left( t \right) &=\sum_{n=0}^{\in ...
导数极限定理
定理
设函数 f(x)f(x)f(x) 在 x0x_0x0 的某邻域 U(x0)U(x_0)U(x0) 连续，在去心邻域 U˚(x0)\mathring{U}(x_0)U˚(x0) 可导，且极限 limx→x0f′(x)\lim_{x\to x_0}f'(x)limx→x0f′(x) 存在，则 f(x)f(x)f(x) 在 x0x_0x0 可导，且 limx→x0f′(x)=f′(x0)\lim_{x\to x_0}f'(x)=f'(x_0)limx→x0f′(x)=f′(x0)
证明
证法1
任取 x∈U˚(x0)x\in \mathring{U}(x_0)x∈U˚(x0)，f(x)f(x)f(x) 在 [x0,x][x_0, x][x0,x] 上满足拉格朗日中值定理条件，则存在 ξ∈(x0,x)\xi \in (x_0, x)ξ∈(x0,x)，使得
f(x)−f(x0)x−x0=f′(ξ)\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(\xi)
x−x0f(x)−f(x0)=f′(ξ)
由于 x0 ...
不等式
均值不等式
对正实数 a,ba,ba,b, 有
21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22当且仅当 a=b 时,等号成立.\begin{align*}
\dfrac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}\leq \sqrt{ab} \leq\dfrac{a+b}{2} \leq\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}\\
当且仅当\;a=b\;时, 等号成立.
\end{align*}a1+b12≤ab≤2a+b≤2a2+b2当且仅当a=b时,等号成立.
21a+1b\dfrac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}a1+b12 称作 a,ba,ba,b 的调和平均值
ab\sqrt{ab}ab 称作 a,ba,ba,b 的几何平均值
a+b2\dfrac{a+b}{2}2a+b 称作 a,ba,ba,b 的算术平均值
a2+b22\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}2a2+b2 称作 a,ba,ba,b 的平方平均值
上面的不等式链可简记为“调几算方”
推广
对正实数 a1,a ...
重要极限 e
解析式
f(x)=(1+x)1/xf(x)=\left( 1+x \right) ^{1/x}f(x)=(1+x)1/x 与 f(x)=(1+1x)xf(x)=\left( 1+\dfrac{1}{x} \right) ^xf(x)=(1+x1)x
图像
极限
limx→0(1+x)1/x=e\lim_{x\to0}\left( 1+x \right) ^{1/x}=elimx→0(1+x)1/x=e
limx→+∞(1+x)1/x=1\lim_{x\to+\infty}\left( 1+x \right) ^{1/x}=1limx→+∞(1+x)1/x=1
limx→0+(1+1x)x=1\lim_{x\to0^+}\left( 1+\dfrac{1}{x} \right) ^x=1limx→0+(1+x1)x=1
limx→+∞(1+1x)x=e\lim_{x\to+\infty}\left( 1+\dfrac{1}{x} \right) ^x=elimx→+∞(1+x1)x=e
证明: 数列 {(1+1n)n}\left\{ \left( 1+\dfra ...
x^x 和 x^1/x 图像赏析
y=xxy=x^xy=xx 和 y=x1/xy=x^{1/x}y=x1/x 图像
曲线特性
两曲线在 (1,1)(1, 1)(1,1) 处相切，切线为 y=xy=xy=x
极限
limx→0+xx=1\lim_{x\to0^+}x^x=1limx→0+xx=1
limx→+∞x1/x=1\lim_{x\to+\infty}x^{1/x}=1limx→+∞x1/x=1
极值点
y=xxy=x^xy=xx：x=1ex=\dfrac{1}{e}x=e1
y=x1/xy=x^{1/x}y=x1/x：x=ex=ex=e
y=xxy=x2xy=x3xy=x^x \quad y=x^{2x} \quad y=x^{3x}y=xxy=x2xy=x3x 图像
双纽线图像赏析
例1
直角坐标
(x2+y2)2=2axy(x^2+y^2)^2=2axy(x2+y2)2=2axy
极坐标
r2=asin2θr^2=asin2\thetar2=asin2θ
图像
a>0a>0a>0
a<0a<0a<0
图像顺（或逆）时针旋转 π2\dfrac{\pi}{2}2π
例2
直角坐标
(x2+y2)2=a(x2−y2)(x^2+y^2)^2=a(x^2-y^2)(x2+y2)2=a(x2−y2)
极坐标
r2=acos2θr^2=acos2\thetar2=acos2θ
图像
a>0a>0a>0
a<0a<0a<0
图像顺（或逆）时针旋转 π2\dfrac{\pi}{2}2π
心脏线赏析
例1
极坐标方程
r=a(1+cosθ)(0≤θ≤2π)r=a(1+cos\theta) (0\leq\theta\leq2\pi)r=a(1+cosθ)(0≤θ≤2π)
图像
a>0a>0a>0
a<0a<0a<0
例2
极坐标方程
r=a(1+sinθ)(0≤θ≤2π)r=a(1+sin\theta) (0\leq\theta\leq2\pi)r=a(1+sinθ)(0≤θ≤2π)
图像
a>0a>0a>0