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定义 卡塔兰常数（Catalan’s Constant）常用字母 G 表示, 我们先来看看它的定义： 级数定义式： G:=∑n=0∞(−1)n(2n+1)2G:=\sum_{n=0}^{∞}{\dfrac{(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}G:=∑n=0∞​(2n+1)2(−1)n​，积分定义式：G:=−∫0π/4ln⁡tan⁡x dxG:=-\int_{0}^{\pi/{4}}\ln \tan x \ \mathrm{d}xG:=−∫0π/4​lntanx dx 这两种定义可以互相转化：作换元 t=tan⁡xt=\tan xt=tanx, 有 G=−∫0π/4ln⁡tan⁡x dx=−∫01ln⁡t darctan⁡t=[−ln⁡t⋅arctan⁡t]01+∫01arctan⁡tt dt=0+∫01∑n=0∞(−1)nt2n2n+1 dt=∑n=0∞(−1)n∫01t2n2n+1 dt=∑n=0∞(−1)n[t2n+1(2n+1)2]01=∑n=0∞(−1)n(2n+1)2.\begin{aligned} G&=-\int_{0}^{\pi/4}\ln\tan x\ ...

f(x)=xabf(x)=x^\dfrac{a}{b}f(x)=xba​（ab\dfrac{a}{b}ba​ 且为最简分数） 下述讨论针对ab>0\dfrac{a}{b}>0ba​>0，ab<0\dfrac{a}{b}<0ba​<0类似。 aaa 为偶数（导致f(x)f(x)f(x)为偶函数），则 bbb 必为奇数 曲线的解析式： 黑：y=x4y=x^4y=x4 红：y=x2y=x^2y=x2 蓝：y=x23y=x^\dfrac{2}{3}y=x32​ 绿：y=x25y=x^\dfrac{2}{5}y=x52​ aaa 为奇数，bbb 为奇数，则f(x)f(x)f(x)为奇函数 曲线的解析式： 绿：y=x3y=x^3y=x3 蓝：y=xy=xy=x 红：y=x13y=x^\dfrac{1}{3}y=x31​ 紫：y=x15y=x^\dfrac{1}{5}y=x51​ aaa 为奇数，bbb 为偶数（导致 x≥0x\geq0x≥0，图像只在第一象限） 曲线的解析式： 红：y=x52y=x^\dfrac{5}{2}y=x25​ ...

双曲正弦函数及其反函数 y=sinh⁡xy=\sinh xy=sinhx 和 y=arsinh⁡xy=\operatorname{arsinh} xy=arsinhx 图像 曲线特性 sinh⁡x=ex−e−x2\sinh x=\cfrac{e^x-e^{-x}}{2}sinhx=2ex−e−x​ arsinh⁡x=ln⁡(x+x2+1)\operatorname{arsinh} x=\ln(x+\sqrt{x^2+1})arsinhx=ln(x+x2+1​) 两曲线在 (0,0)(0, 0)(0,0) 处相切，切线为 y=xy=xy=x 双曲余弦函数及其反函数 悬链线 y=cosh⁡xy=\cosh xy=coshx 和 y=arcosh⁡xy=\operatorname{arcosh} xy=arcoshx 图像 曲线特性 cosh⁡x=ex+e−x2=∑n=0∞x2n(2n)!\begin{align*} \cosh x & = \cfrac{e^x+e^{-x}}{2} \\ & = \sum_{n=0}^{\infty} \cfrac{ ...

定理 设函数 f(x)f(x)f(x) 在 x0x_0x0​ 的某邻域 U(x0)U(x_0)U(x0​) 连续，在去心邻域 U˚(x0)\mathring{U}(x_0)U˚(x0​) 可导，且极限 lim⁡x→x0f′(x)\lim_{x\to x_0}f'(x)limx→x0​​f′(x) 存在，则 f(x)f(x)f(x) 在 x0x_0x0​ 可导，且 lim⁡x→x0f′(x)=f′(x0)\lim_{x\to x_0}f'(x)=f'(x_0)limx→x0​​f′(x)=f′(x0​) 证明 证法1 任取 x∈U˚(x0)x\in \mathring{U}(x_0)x∈U˚(x0​)，f(x)f(x)f(x) 在 [x0,x][x_0, x][x0​,x] 上满足拉格朗日中值定理条件，则存在 ξ∈(x0,x)\xi \in (x_0, x)ξ∈(x0​,x)，使得 f(x)−f(x0)x−x0=f′(ξ)\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(\xi) x−x0​f(x)−f(x0​)​=f′(ξ) 由于 x0 ...

均值不等式 对正实数 a,ba,ba,b, 有 21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22当且仅当  a=b  时,等号成立.\begin{align*} \dfrac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}\leq \sqrt{ab} \leq\dfrac{a+b}{2} \leq\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}\\ 当且仅当\;a=b\;时, 等号成立. \end{align*}a1​+b1​2​≤ab​≤2a+b​≤2a2+b2​​当且仅当a=b时,等号成立.​ 21a+1b\dfrac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}a1​+b1​2​ 称作 a,ba,ba,b 的调和平均值 ab\sqrt{ab}ab​ 称作 a,ba,ba,b 的几何平均值 a+b2\dfrac{a+b}{2}2a+b​ 称作 a,ba,ba,b 的算术平均值 a2+b22\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}2a2+b2​​ 称作 a,ba,ba,b 的平方平均值 上面的不等式链可简记为“调几算方” 推广 对正实数 a1,a ...

解析式 f(x)=(1+x)1/xf(x)=\left( 1+x \right) ^{1/x}f(x)=(1+x)1/x 与 f(x)=(1+1x)xf(x)=\left( 1+\dfrac{1}{x} \right) ^xf(x)=(1+x1​)x 图像 极限 lim⁡x→0(1+x)1/x=e\lim_{x\to0}\left( 1+x \right) ^{1/x}=elimx→0​(1+x)1/x=e lim⁡x→+∞(1+x)1/x=1\lim_{x\to+\infty}\left( 1+x \right) ^{1/x}=1limx→+∞​(1+x)1/x=1 lim⁡x→0+(1+1x)x=1\lim_{x\to0^+}\left( 1+\dfrac{1}{x} \right) ^x=1limx→0+​(1+x1​)x=1 lim⁡x→+∞(1+1x)x=e\lim_{x\to+\infty}\left( 1+\dfrac{1}{x} \right) ^x=elimx→+∞​(1+x1​)x=e 证明: 数列 {(1+1n)n}\left\{ \left( 1+\dfra ...

y=xxy=x^xy=xx 和 y=x1/xy=x^{1/x}y=x1/x 图像 曲线特性 两曲线在 (1,1)(1, 1)(1,1) 处相切，切线为 y=xy=xy=x 极限 lim⁡x→0+xx=1\lim_{x\to0^+}x^x=1limx→0+​xx=1 lim⁡x→+∞x1/x=1\lim_{x\to+\infty}x^{1/x}=1limx→+∞​x1/x=1 极值点 y=xxy=x^xy=xx：x=1ex=\dfrac{1}{e}x=e1​ y=x1/xy=x^{1/x}y=x1/x：x=ex=ex=e y=xxy=x2xy=x3xy=x^x \quad y=x^{2x} \quad y=x^{3x}y=xxy=x2xy=x3x 图像

例1 直角坐标 (x2+y2)2=2axy(x^2+y^2)^2=2axy(x2+y2)2=2axy 极坐标 r2=asin2θr^2=asin2\thetar2=asin2θ 图像 a>0a>0a>0 a<0a<0a<0 图像顺（或逆）时针旋转 π2\dfrac{\pi}{2}2π​ 例2 直角坐标 (x2+y2)2=a(x2−y2)(x^2+y^2)^2=a(x^2-y^2)(x2+y2)2=a(x2−y2) 极坐标 r2=acos2θr^2=acos2\thetar2=acos2θ 图像 a>0a>0a>0 a<0a<0a<0 图像顺（或逆）时针旋转 π2\dfrac{\pi}{2}2π​

例1 极坐标方程 r=a(1+cosθ)(0≤θ≤2π)r=a(1+cos\theta) (0\leq\theta\leq2\pi)r=a(1+cosθ)(0≤θ≤2π) 图像 a>0a>0a>0 a<0a<0a<0 例2 极坐标方程 r=a(1+sinθ)(0≤θ≤2π)r=a(1+sin\theta) (0\leq\theta\leq2\pi)r=a(1+sinθ)(0≤θ≤2π) 图像 a>0a>0a>0

A(x)=B(x)A(x)=B(x)A(x)=B(x) 不等价于 A(x)f(x)=B(x)f(x)A(x)f(x)=B(x)f(x)A(x)f(x)=B(x)f(x)。因为若 A(a)f(a)=B(a)f(a)A(a)f(a)=B(a)f(a)A(a)f(a)=B(a)f(a) 而 A(a)≠B(a)A(a)\ne B(a)A(a)=B(a)，必然有 f(a)=0f(a)=0f(a)=0。所以需要检验乘式或除式是否为零。简记：零乘易增，零除易失。 在实数集内， A(x)=B(x)\sqrt{A(x)}=\sqrt{B(x)}A(x)​=B(x)​ 不等价于 A(x)=B(x)A(x)=B(x)A(x)=B(x)，因为可能 A(a)=B(a)<0A(a)=B(a)<0A(a)=B(a)<0。需要检验被开方式是否为负。简记：乘方易增，开方易失。 前面两个常见情况，可以总结为：乘乘易增，开除易失。 技巧：只要注意前后的定义域有没有变化，变化了就把多出来的定义域上的解舍掉。