简介

理查德·菲利普斯·费曼（Richard Phillips Feynman）是美国著名物理学家，在多个领域都有卓越贡献。

费曼积分的思路就是

  • 设置变量
  • 求导化简
  • 解平凡积分

费曼自己对它的形容是：“对积分符号内的参数求微分”。

求导之后会使得一些超越函数变为幂函数，或者一些特别函数求导后可以转变成熟悉的函数。

幂对积分

计算

an=∫01xmln⁡nx dx\large a_n = \int_0^1 x^m\ln^n x \ \mathrm{d}x

设I(m)=∫01xm dx=1m+1I(m) = \displaystyle{\int _0^1 x^m \ \mathrm{d}x}=\frac{1}{m+1}, 于是

I′(m)=ddm∫01xm dx=∫01∂∂m(xm) dx=∫01xmln⁡x dx=−1(m+1)2\large \begin{aligned} I'(m) &=\frac{\rm d}{\mathrm{d}m}\int_0^1x^m \ {\rm d}x\\ &=\int_0^1\frac{\partial}{\partial m}\left(x^m\right) \ {\rm d}x\\ &=\int_0^1 x^m \ln x \ \mathrm{d}x\\ &=-\frac1{(m+1)^2} \end{aligned}

则

an=I(n)(m)=∫01xmln⁡nx dx=(−1)n⋅n!(m+1)n+1.\large a_n = I^{(n)}(m) = \int _0^1 x^m \ln^n x \ \mathrm{d}x =\frac{(-1)^{n} \cdot n!}{(m+1)^{n+1}}.

狄利克雷积分

计算

I=Si(+∞)=∫0+∞sin⁡xx dx\large I=\displaystyle{\text{Si}(+\infty) = \int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \ \mathrm{d}x}

令I(t)=∫0+∞sin⁡xx⋅e−tx dxI(t)=\displaystyle{ \int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \cdot e^{-tx} \ \mathrm{d}x}, 于是

I′(t)=ddt∫0+∞sin⁡xx⋅e−tx dx=∫0+∞∂∂t(sin⁡xx⋅e−tx) dx=−∫0+∞sin⁡x⋅e−tx dx\large \begin{aligned} I'(t) &=\frac{\rm d}{\mathrm{d}t}\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\cdot e^{-tx} \ {\rm d}x\\ &=\int_{0}^{+\infty}\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\sin x}{x}\cdot e^{-tx}\right) \ {\rm d}x\\ &=-\int_0^{+\infty} {\sin x} \cdot e^{-tx} \ \mathrm{d}x\\ \end{aligned}

利用分部积分法或公式法可以得到:

I′(t)=−1t2+1\large I'(t) = -\frac{1}{t^2+1}

积分得

I(t)=C−arctan⁡t\large I(t)=C-\arctan t

由于 I(+∞)=0=lim⁡t→+∞C−arctan⁡t=C−π2\displaystyle{I(+\infty) = 0 = \lim\limits_{t \to +\infty} C-\arctan t = C-\frac{\pi}2}, 得 C=π2C = \dfrac\pi2

因此

I(t)=π2−arctan⁡t\large I(t) = \dfrac\pi2-\arctan t

有

I(0)=∫0+∞sin⁡xx dx=π2.\large I(0)=\displaystyle{ \int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \ \mathrm{d}x} = \dfrac\pi2.

例2

I=∫01x−1ln⁡x dx\large I= \int_0^1\frac{x-1}{\ln x} \ \mathrm{d}x

令I(t)=∫01xt−1ln⁡xdxI(t)= \displaystyle{\int_0^1\frac{x^t-1}{\ln x} \mathrm{d}x}, 于是

I′(t)=∫01xtdx=1t+1\large I'(t) = \displaystyle{\int_0^1x^t \mathrm{d}x} = \frac1{t+1}

积分得

I(t)=ln⁡(t+1)+C\large I(t) =\ln(t+1) +C

由于 I(0)=C=0I(0) =C =0, 得

I(t)=ln⁡(t+1)\large I(t) =\ln(t+1)

有

I=I(1)=ln⁡2.\large I = I(1) = \ln 2.