不等式

均值不等式

对正实数 $a,b$, 有

$$\begin{align*} \dfrac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}\leq \sqrt{ab} \leq\dfrac{a+b}{2} \leq\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}\\ 当且仅当\;a=b\;时, 等号成立. \end{align*}$$

$\dfrac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}$ 称作 $a,b$ 的调和平均值

$\sqrt{ab}$ 称作 $a,b$ 的几何平均值

$\dfrac{a+b}{2}$ 称作 $a,b$ 的算术平均值

$\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}$ 称作 $a,b$ 的平方平均值

上面的不等式链可简记为“调几算方”

• 推广
  对正实数 $a_{1},a_{2},...,a_{n}$, 有

$$\dfrac{n}{\dfrac{1}{a_{1}}+\dfrac{1}{a_{2}}+...+\dfrac{1}{a_{n}}}\leq \sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}} \leq \dfrac{a_{1}+a_{2}+....+a_{n}}{n} \leq \sqrt{\dfrac{a_{1}^2+a_{2}^2+....+a_{n}^2}{n}}\\ 当且仅当\;a_{1}=a_{2}=...a_{n}\;时, 等号成立$$

绝对值不等式

$|a|-|b|\leq|a\pm b|\leq|a|+|b|.$

柯西不等式

对实数 $a_{1},a_{2},...,a_{n},b_{1},b_{2},...,b_{n}$, 有

$$(a_{1}^2+a_{2}^2+...a_{n}^2)(b_{1}^2+b_{2}^2+...+b_{n}^2)\geq(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n})^2\\[2ex] 当\;\dfrac{a_{1}}{b_{1}}=\dfrac{a_{2}}{b_{2}}=...\dfrac{a_{n}}{b_{n}}\;时, 等号成立.$$

积分不等式

1、$\mathrm{Cauthy-Schwarz}$ 不等式

$$\left[ \int_a^b f(x)g(x)\ \mathrm dx \right]^2 \leq \int_a^b f^2(x)\ \mathrm dx\int_a^bg^2(x)\ \mathrm dx.$$

证明：
由

$$\int_a^b \left[tf(x)+g(x)\right]^2\ \mathrm dx \geq 0,$$

有

$$t^2\int_a^b f^2(x)\ \mathrm dx + 2t\int_a^b f(x)g(x)\ \mathrm dx+\int_a^b g^2(x)\ \mathrm dx \geq 0.$$

由 $\Delta\leq0$ 得

$$\left[ 2\int_a^bf(x)g(x)\ \mathrm dx \right]^2 - 4\int_a^bf^2(x)dx\int_a^bg^2(x)\ \mathrm dx \leq0,$$

即

$$\left[ \int_a^bf(x)g(x)\ \mathrm dx \right]^2 \leq \int_a^bf^2(x)\ \mathrm dx\int_a^bg^2(x)\ \mathrm dx.$$

2、

$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上非负可积, 且 $\int_a^bf(x)\ \mathrm dx=1$, 则

$$\left[\int_a^bf(x)\cos(\alpha x)\ \mathrm dx\right]^2+\left[\int_a^bf(x)\sin(\alpha x)\ \mathrm dx\right]^2\leq1.$$

证明：

依题意得, $\sqrt{f(x)}$, $\sqrt{f(x)}\sin(\alpha x)$, $\sqrt{f(x)}\cos(\alpha x)$ 在 $[a,b]$ 上可积, 则由 $\mathrm{Cauthy-Schwarz}$ 不等式得

$$\begin{aligned} \left[\int_a^bf(x)\cos(\alpha x)\ \mathrm dx\right]^2&= \left[\int_a^b\sqrt{f(x)}\cdot\sqrt{f(x)}\cos(\alpha x)\ \mathrm dx\right]^2\\ &\leq\int_a^b f(x)\ \mathrm dx\int_a^bf(x)\cos^2(\alpha x)\ \mathrm dx\\ &=\int_a^bf(x)\cos^2(\alpha x)\ \mathrm dx. \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \left[\int_a^bf(x)\sin(\alpha x)\mathrm dx\right]^2&= \left[\int_a^b\sqrt{f(x)}\cdot\sqrt{f(x)}\sin(\alpha x)\ \mathrm dx\right]^2\\ &\leq\int_a^b f(x)\ \mathrm dx\int_a^bf(x)\sin^2(\alpha x)\ \mathrm dx\\ &=\int_a^bf(x)\sin^2(\alpha x)\ \mathrm dx. \end{aligned}$$

两式相加有

$$\begin{aligned} \left[\int_a^bf(x)\cos(\alpha x)\ \mathrm dx\right]^2+\left[\int_a^bf(x)\sin(\alpha x)\ \mathrm dx\right]^2&\leq \int_a^bf(x)\cos^2(\alpha x)\ \mathrm dx+\int_a^bf(x)\sin^2(\alpha x)\ \mathrm dx\\ &=\int_a^bf(x)\ \mathrm dx=1. \end{aligned}$$