解析式 f(x)=(1+x)1/xf(x)=\left( 1+x \right) ^{1/x}f(x)=(1+x)1/x 与 f(x)=(1+1x)xf(x)=\left( 1+\dfrac{1}{x} \right) ^xf(x)=(1+x1)x 图像 极限 limx→0(1+x)1/x=e\lim_{x\to0}\left( 1+x \right) ^{1/x}=elimx→0(1+x)1/x=e limx→+∞(1+x)1/x=1\lim_{x\to+\infty}\left( 1+x \right) ^{1/x}=1limx→+∞(1+x)1/x=1 limx→0+(1+1x)x=1\lim_{x\to0^+}\left( 1+\dfrac{1}{x} \right) ^x=1limx→0+(1+x1)x=1 limx→+∞(1+1x)x=e\lim_{x\to+\infty}\left( 1+\dfrac{1}{x} \right) ^x=elimx→+∞(1+x1)x=e 证明: 数列 {(1+1n)n}\left\{ \left( 1+\dfrac{1}{n} \right) ^n\right\}{(1+n1)n} 单调增加, {(1+1n)n+1}\left\{ \left( 1+\dfrac{1}{n} \right) ^{n+1}\right\}{(1+n1)n+1} 单调减少, 两者收敛于同一极限. 例 记 bn=1+12+13+⋯+1n−lnnb_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}-\ln nbn=1+21+31+⋯+n1−lnn, 证明数列{bn}\left\{b_n\right\}{bn}收敛.
