定理

设函数 f(x)f(x) 在 x0x_0 的某邻域 U(x0)U(x_0) 连续，在去心邻域 U˚(x0)\mathring{U}(x_0) 可导，且极限 lim⁡x→x0f′(x)\lim_{x\to x_0}f'(x) 存在，则 f(x)f(x) 在 x0x_0 可导，且 lim⁡x→x0f′(x)=f′(x0)\lim_{x\to x_0}f'(x)=f'(x_0)

证明

证法1

任取 x∈U˚(x0)x\in \mathring{U}(x_0)，f(x)f(x) 在 [x0,x][x_0, x] 上满足拉格朗日中值定理条件，则存在 ξ∈(x0,x)\xi \in (x_0, x)，使得

f(x)−f(x0)x−x0=f′(ξ)\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(\xi)

由于 x0<ξ<xx_0\lt\xi\lt x，因此当 x→x0+x\to x_0^+ 时，随之有 ξ→x0+\xi\to x_0^+，对上式两边取极限，便得

lim⁡x→x0+f(x)−f(x0)x−x0=lim⁡x→x0+f′(ξ)\lim_{x \rightarrow x^+_0}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\lim_{x \rightarrow x^+_0}{f'(\xi)}

即

f+′(x0)=lim⁡x→x0+f′(x)f'_+ (x_0)=\lim_{x\to x_0^+}f'(x)

证法2

利用 f(x)f(x) 在 x=x0x=x_0 处的导数定义和洛必达法则。

注意点

  • 定理叙述的条件是判定可导性的充分条件， 即函数在该点可导，定理条件不一定成立
    如函数

    f(x)={0,x=0x2sin1x,x≠0 f(x)= \begin{cases} 0,&x=0\\ x^2sin\dfrac1x,&x\neq0 \end{cases}

  • 单侧极限的描述
    设函数 f(x)f(x) 在区间 (x0−δ,x0](x_0-\delta, x_0] 连续且在开区间 (x0−δ,x0)(x_0-\delta, x_0) 上可导，若 lim⁡x→x0−f′(x)\lim_{x\to x_0^-}f'(x) 存在，则 f(x)f(x) 在 x0x_0 点左导数存在，且 lim⁡x→x0−f′(x)=f′_(x0)\lim_{x\to x_0^-}f'(x)=f'\_ (x_0)

应用

（1）导数极限定理适合于用来求分段函数的导数
（2）区间 II 上具有第一类间断点和无穷间断点的函数无原函数
即：区间 II 上可导函数的导数在点 x0∈Ix_0\in I 处要么连续，要么为振荡间断点
（3）分段函数原函数存在性
区间 II 上连续函数一定存在原函数，但连续是原函数存在的充分条件，而不是必要条件，如函数

f(x)={0,x=02xsin1x−cos1x,x≠0 f(x)= \begin{cases} 0,&x=0\\ 2xsin\dfrac1x-cos\dfrac1x,&x\neq0 \end{cases}

x=0x=0 为振荡间断点，它有原函数

F(x)={0,x=0x2sin1x,x≠0 F(x)= \begin{cases} 0,&x=0\\ x^2sin\dfrac1x,&x\neq0 \end{cases}